286 MEMOIRES DE L'ACADEMIE ROYALE 
pour la courbe à double courbure, & 2 x dy pour 
Vrr 
la courbe de projection, dont l'intégrale eft 222 & 
g x =. Ainfi dans ce cas qui en renferme une infinité, 
Ja courbe à double courbure fera à la courbe de projection 
comme r à Vrr nn. | 
CoRoLLAIRE III. 
XX. De l'infinité de courbes à double courbure, décrites 
fur les fuperficies convexes des Spheres, & engendrées par 
le roulement du cône, dont le côté X A ou KQ (art. 6.) 
a 
rVan—2gnrr 
EEE, 
eft toüjours égal au rayon de la Sphere; 
Vrr— gg 
de toutes ces courbes, dis-je, il n'y a donc que celles qui 
réfultent de fa fuppofition de g—7r & de g=—n qui foient 
rectifiables. La premiére de ces fuppofitions demande que 
la hauteur du cone foit infinie, & la feconde qu'elle foit 
infiniment petite : dans le premier cas, ce font les Epicycloïdes; 
& dans le fecond, ce font les courbes à double courbure 
décrites fur la fuperficie convexe d’une Sphere, dont le 
rayon eft 7, par un point fixe d'un grand cercle, tel que 
l'Écliptique, dont tous les points s'appliquent fucceflivement 
fur tous les points d’un petit cercle parallele à l'Equateur, 
pris à telle diftänce qu'on veut de l'Equateur; l’'infinité de 
courbes de cette efpece, aufli-bien que leurs courbes de 
projection, font donc reétifiables. On a vû de plus /arr. 2.) 
que toutes les courbes à double courbure, & de projeétion 
qui font l'objet de ce Mémoire, font géométriques, lorfque 
le rapport de » à r eft de nombre à nombre; donc quand 
ce rapport eft tel, & que g—", toutes ces courbes font 
géométriques & rectifrables. 
C'eft cette derniére efpece de courbes que M. de Mau- 
pertuis a déterminée par une autre voye (il y a quelques 
jours ) en réfolvant le Probleme qui lui avoit été propofé 
