312 ANDRÉS VILLAFAÑA, 
caso indicado por la fig. 8 en que el polo es externo á la figu- 
ra cuya área se quiere medir, se multiplica por 0 ó se reduce á 
cero la suma algebráica de los factores análogos á s, cuando el 
brazo A ha vuelto á su posición inicial. Asíes que 2 s=0, por lo 
cual el valor correspondiente de S será solo S =p y el va- 
lor de y se reducirá á y = 2 h; multiplicando ambos miembros 
por la constante r: rp=X2rh, y como rh=p, resulta final- 
mente r y = 2 p = £. 
Lo que quiere decir que cuando el polo es exterior la su- 
perficie de la figura es igual á un rectángulo de la base cons- 
tante é igual á r y cuya altura es el arco desarrollado en la su- 
perficie del tambor contador D. - 
Cuando se está en el caso de que el polo se encuentre den- 
tro del perímetro de la figura que se ha de cuadrar (figura 10) 
el punto C de la recta CF tendrá que recorrer forzosamente 
una circunferencia de centro E y de radio R para volver á su 
posición inicial. Las curvas descritas por CF, de las cuales la 
primera es una circunferencia de radio R, y la segunda es el 
contorno de la figura en cuestión, comprenden una parte de 
la superficie propuesta, cuya expresión será como antes: 
Yp+Ys. La otra parte será la superficie del círculo de radio 
RóTR?; así es que, siendo S la superficie propuesta tendre- 
mos S—T1R*=2p+Ys. 
La ecuación anterior subsiste en el caso que se intersequen 
la cireunferencia describa por C y el perímetro de la figura, 
como se ve en la fig. 9 
En estos casos Es =x1 14? y S—x2R?Zrr*L2p..... (a) 
además la expresión 2 p y, al terminar la vuelta completa, se 
reduce 4 27 p, de modo que: 
p=2h+2=7p, multiplicando por r 
se tiene; rp=*p+2%rzp; de donde se obtiene; 
2p=rg—2rpr; que substituída en (a) nos da: 
S—aRfi=ar4+rp—2rp7 
