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renfermant toutes les solutions entières de l'équation. En effet, 
à toute valeur de z de la forme indiquée, c’est-à-dire à tout 
système de valeurs de « et 6, correspondra un système de valeurs 
de x et y; comme « et É peuvent toujours être supposés pre- 
miers entre eux, autant il y aura de manières de représenter z 
par la forme susdite , autant il y aura (pour le z considéré) de 
solutions distinctes de l’équation. On s'assure sans peine, d’ail- 
leurs, que l'identité ci-dessus, où « et Ê restent indéterminés, ne 
saurait être remplacée par aucune autre formule donnant 
l'expression de («? + 3£?)5 sous la forme requise. 
Quant à l'égalité 47 + 5.4?—45, où 4 est facteur commun à 
tous les termes, elle ne conduit pas à une solution, car en éeri- 
vant, comme on doit le faire 1°+5.1?— 24 .1°, on n'a pas un 
cube dans le second membre. 
Quant, enfin, à l'identité 
(ue + B}° (a — 28) (B — 2) + 27087 (2 — EY = 4 (0° — 28 + 6°), 
rapportée par M. Catalan, elle n’est manifestement qu une trans- 
formée de celle qui précède. 
IT. L'expression (a? + b?)* est assurément : un carré, — une 
somme de deux carrés, — une somme de quatre carrés. On ne 
peut pas affirmer qu’elle est généralement une somme de trois 
carrés effectifs, puisque (1? + 1°) — 16, par exemple, ne l’est 
pas. Cependant, pour des nombres a, b premiers entre eux (ou 
simplement inégaux), on peut mettre en évidence, par des for- 
mules, que l'expression considérée est toujours une somme de 
trois carrés. 
1° Si a et b sont premiers avec 5, posons l'identité 
+ (a+ 5h) —={(a+h) + (a + 2h) + (2h), 
* Lettre de M. Catalan à D. B. Boncompagni, en date de « Liége, 
44 novembre 1880 ». 
