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dans laquelle on prendra a premier avec h; il s'en déduit, par 
l'emploi répété de la formule connue 
(oc? + B° + D — (a? + E — 9°) + (2x9) Er (285), 
le théorème général exprimé par la relation 
[a + (a + 5h} |" — A° + B°+ C?, 
où À, B, C sont des entiers dont aucun n’est nul, et # est une 
puissance de 2. 
Il s'ensuit, comme corollaire, que : a et b étant deux entiers, 
dont un seul est divisible par 5, et m désignant une puissance 
de 2, l'expression [2 (a? + b?)]" est la somme de trois carrés. 
2° Si l’un des nombres a, b, premiers entre eux, est un mul- 
tiple de 5, par exemple, a —5a', on pose l'identité 
(9a° + D = (7a°— 0°) + 16a°(a' + bŸ + 16a° (a —b), 
et l’on en déduit, comme ci-dessus, la relation 
(9a° + b°?}" — A? + B? + C°, 
en nombres entiers, mn étant une puissance de 2. 
Observation. Tout ce qui précède est entièrement indépen- 
dant de la Théorie des nombres proprement dite; on n’y fait usage 
que de formules directes, exprimant les propositions, et indi- 
quant en même temps les calculs à effectuer. Mais si l’on sort 
des éléments, et que l’on s’appuie sur les théorèmes de l’arithmé- 
tique supérieure, toutes les propositions énoncées, et bien 
d’autres, se présentent comme des conséquences immédiates de 
ce principe, que : tout bicarré impair, autre que l'unité, est la 
somme de trois carrés. D’après ce principe (qui ne se démontre 
pas à l’aide de simples identités algébriques), un nombre de la 
forme (a? +b°)* est toujours décomposable en trois carrés, s’il ne 
se réduit pas à une puissance de 2. 
Turin, 6 mars 1882. 
