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En effet, si l’on développe le premier membre de (4), les 
coefficients des quantités X,Y,Z,, où p, q, r peuvent prendre les 
valeurs 1 et 2, sont nuls séparément. 
Cette condition nous donne huit équations linéaires, par 
rapport aux paramètres p,, équalions qui sont vérifiées et dont 
le déterminant est, par suite, égal à zéro : or ce déterminant 
n'est autre que D. 
Par suite 
THÉORÈME ÎIÏ. — L’homographie du troisième ordre et du 
second rang peut étre caractérisée par l'identité 
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2 Pi (XiT = X2% 1) (ViYi = Y:y:) (Zi = Z:2;1) = ||; 
où les quantités X,, X,; Y,, Y,; Z,, Z, sont arbitrarres. 
De cette identité, on peut déduire un grand nombre de formes 
de la relation qui existe entre huit ternes de points appartenant 
à une H. 
Il suffit, en effet, de donner aux X, Y et Z des valeurs parti- 
culières qui annulent un certain nombre de termes du premier 
membre, puis d'écrire que le déterminant des équations en p,, 
obtenues de cette façon, est égal à zéro. 
L'égalité f — 0 peut s’écrire 
EAUT [aus + Got] + CU [din + U922 | + Los [ns + 229 | 
+ Lo [Ass > Uaooto | = 0, 
et de deux autres manières analogues. 
Il en résulte immédiatement : 
THÉORÈME IV. — Dans une homographie H5, à un point donné 
correspond une homographie quadratique. 
Cette même relation peut encore s’écrire 
d df 
RU PARLE 
dx; dXs 
