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Le signe du produit est positif ou négatif selon que la permu- 
tation de l'indice est de classe paire ou de classe impaire. 
Quant aux lettres, en y comprenant la première série, elles 
donnent les trois permutations circulaires de É, », &. 
Nous appellerons les fonctions (15£hw» ete. des rapports 
anharmoniques du troisième ordre. 
Et nous pourrons dire : 
THÉORÈME V. — L'involution du troisième ordre et du second 
rang peut s'exprimer par la réduction à zéro d’une somme algé- 
brique de produits deux à deux de rapports anharmoniques du 
troisième ordre. 
Sous cette forme, on reconnaît immédiatement la généralisa- 
tion de la relation anharmonique de six points appartenant à 
une involution quadratique. 
En effet, appliquons à six points de celle-ci le théorème que 
nous venons dénoncer : nous aurons 
Fr 4 F) 2 
yË 23 yË 32 
ou, en développant : 
(Ë — y2) (#1 = E:) ME (Ë E Ys) (#i GE Ës) 
(Er — Es) (#1 — #9) (Ë — Ë) (1 — Es) 
ou bien, avec les notations habituelles 
(£ M1 M2 Ë;) en (#1 Ë,, Êg 43) 
Nous nous occuperons, dans un chapitre spécial, du rapport 
anharmonique de six points. Il nous suffit d’avoir montré, pour 
le moment, comment celle notion s’introduit, nécessairement, 
dans la théorie de linvolution. 
