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données à X,, X,; de plus, elle ne suffirait pas, à elle seule, pour 
caractériser l’involution. 
Dans l'identité (26), faisons successivement X,=—2%},, X;—%,; 
X 4 — Ynys X2 = Yy25 Xi — Zyj, Xo — Zyo, NOUS aurons 
P2 (XX) (X1Y22) (CM) + D: (XuX32) CAVE) (X1133) = (} 
Pa (Yu22) (YYa2) (Y11Z22) + D: (YuSs2) (YuY3) (YuZs2) = 0, 
Pe (Zu) (Zuÿs2) (ZuZ2) + Ps (ZuXs) (Zu1Y32) (ZuZs) = (0. 
On en déduit 
(tuT22) (XuY22) (œuzxs) (y T2) ( YuYo2) (y 141222 )_(zutx) (Z11ÿ39) (ZuZ20) (2 8) 
(CAE) (tuY3e) (X115) (VC) (YY3) (Ya1332) (ZT) (211932) (zx) 
et d’autres formules analogues. 
Ces équations sont dues à PoNCELET. 
: Ta î Zi 
Si, dans (27), nous remplaçons les rapports —, , , par 
La Yi Le 
Ë, # & et que nous développions, nous aurons 
(Ë1 — #) (Ë: — 6) (2 — #;) (Ë 2 — C3 ) (ë—") (Ë: — 81) 
— (Ë1 —#s) = ) (Ë2 — #1) (E 2—Ë: ) (5 — #2) (Es — 2), 
équation que nous pourions écrire 
(Ë— #2) (Ë2 — #5) (E m (Ë — Es) (Ë2 — 4) (Ës — 2) 
(Es —#5) (2 — 5) (Es — #0) (Er — 82) (E2 — 85) (Es —8,) 
Les deux membres de cette égalité sont des rapports anhar- 
moniques du troisième ordre. Par suite 
THéorÈME XVII. — L'involution du troisième ordre et du 
premier rang peut s'exprimer par des égalités de rapports anhar- 
moniques du troisième ordre. 
D’après le théorème XIV, au point à l'infini correspond un 
couple de points. 
Supposons que dans (28), le point £, (x,, x2) soit le point situé 
