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A chaque point de ramification correspond un couple d’élé- 
ments confondus. Nous en pouvons donc conclure 
THÉORÈME XX. — L'involution du troisième ordre et du premier 
rang possède quatre éléments doubles. 
À cause de la symétrie qui existe entre les trois séries en 
involution, il suffit, pour obtenir l’équation des points doubles, 
de faire, dans (29), y; — 3, Ye — 22. 
On trouve ainsi 
(Go —— dix) yi + 2 (Go%3 — Got) UIVE + [(Gos — Us%o) 
+ 3 (dits — dot)] Yiys + 2 (aixs — as) Yiye 
= (Gex ee 323) UE |}; (31) 
Si nous calculons directement l'équation des points doubles 
par la méthode indiquée à propos de l’homographie, ou si, dans 
les équations relatives à ce cas général, nous introduisons les 
particularisations nécessaires, nous trouvons, par l'expression 
de ce covariant 
Q - (ab) a?l?, 
Q étant, comme on sait, linvariant qui s’annule si l’involu- 
tion possède un point triple (v. plus bas, p. 65). 
Nous ne pensons pas que l’on ait encore démontré de cette 
façon la propriété du Jacobien de représenter les points doubles: 
on se borne d'habitude, ce qui est légitime dans la théorie de 
l'involution, à poser x, — ÿ; Lo — Y2, dans l’équalion de rela- 
tion (Verwandschaftsgleichung) entre x et y (‘). 
D'après la définition de l’involution du premier rang, nous 
pouvons dire 
THéorRÈME XXI. — Les ternes de points appartenant à une 
(‘) Sur la théorie de l’involution cubique du premier rang, voir 
Es. Weyr, Theorie der cubischen Involutionen, MÉM. DE LA Soc. ROY. DE 
BonèmEe, 6me série, t. VII. 
