(7%) 
Tous les ternes de linvolution seront donc bien, comme 
nous l’avons dit (p. 64), représentés par 
ar + pQ5 — 0. 
F). On se donne quatre couples de points de linvolution : 
compléter un terne. 
Pour cela, il suflirait évidemment de trouver les points qui 
complètent deux des couples donnés, car on serait ramené au 
problème À). 
_ Supposons que les couples donnés soient x, y15 Lo, Ya Ls, Us: 
Lys Yi. 
Appelons 34, 2, Z3, z,, Les points cherchés. 
Li Yns 313 Los Yas > CONStitaant deux ternes de points et x, ys, 
deux points d’un troisième terne, on a 
| (es — 2) (es — pus — 2) (us — 2) (gs — 4) (y: — 2) 
(Lx — X2) (X3 — Ya) (Xz — 22) (Ys — La) (Ys — Ye) (Ys — 73) 
Cette relation indique déjà que les deux points z,, z, appar- 
uennent à une homographie quadratique dont il faudra déter- 
miner trois couples. 
Si l’on fait z, — %, on a 
| (ts — 2) (2s — y) (ys — x) (y5 — y) 
(ts — 2) (ts — y+) (ys — 22) (y3 — ya) 
L'homographie dont il s’agit a donc pour points doubles x; 
et y;, car le déterminant du premier membre ne s’annüle pas, 
en général. 
Si dans la première équation nous faisons z, — x,, elle 
devient : 
— 0. 
(xs — 2) (ys — 1) = 0. 
(x; Te X4) (x GES Ya) (y5 Te x) (4 (05 nm Ya) ja 
(ts — y) (65 — 2) (y — Ye) (y5 — 2%) VU 
Il en résulte que le point &, correspondant à z, = x,, est 
l’homologie de y, dans l’involution caractérisée par les deux 
couples ty, Ts. 
Nous aurions pu faire le même raisonnement en prenant x;, y; 
au lieu de x3, yz. 
Par suite z,, % fait partie de deux homographies, dont chacune 
(xs — x2) (Ys — 22) 
