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tandis que M. Liouville semble avoir découvert ces formules 
une à une, en faisant, pour chacune d'elles, une espèce de véri- 
fication. C’est ce que le célèbre géomètre laisse comprendre 
dans son Journal (2° série, tome II, page 427), lorsqu'il déclare 
que la démonstration de toutes les formules du même genre se 
réduit à la vérification d’identités algébriques, plus ou moins 
compliquées. — Quant à la Théorie des Moyennes, qui termine 
ces Notes, nous y avons été conduit en cherchant à généraliser 
quelques propositions de M. Berger, annoncées dans la Nou- 
velle Correspondance mathématique (décembre 1880), et une 
proposition de M. Perott, publiée dans le Bulletin des sciences 
(janvier 4881). Mais nous avons reconnu, dans la suite, que les 
propositions de ces géomètres avaient été énoncées et démon- 
trées, longtemps auparavant, et beaucoup plus simplement, par 
Lejeune-Dirichlet, qui doit être considéré comme le véritable 
créateur de la théorie des moyennes, ou, suivant sa propre 
dénomination, du Calcul des expressions asymptotiques. Il à 
même appliqué cette théorie à la démonstration de la formule 
approchée de Legendre, qui donne la totalité des nombres pre- 
miers, non supérieurs à un nombre donné. Mais cette démon- 
stration, annoncée par l'illustre auteur à Académie de Berlin, 
en 1838, n’a paru nulle part. Récemment, un géomètre alle- 
mand, M. Mertens, a repris les méthodes de Dirichlet, et a 
publié, dans le Journal de Crelle (18753), un article über einige 
asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. Dans le tome suivant, 
M. Mertens a essayé d'appliquer le caleul asymptotique à la 
démonstration des formules empiriques de Legendre, et a voulu 
substituer sa démonstration à celle que M. Tchebycheff a donnée 
dans le Journal de Liouville (are série, tome XVII). L'analyse 
de M. Mertens, qualifiée de subtile dans le Bulletin de Darboux 
