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4° f(x) = x. Le second membre représente la somme des divi- 
seurs des n premiers nombres naturels. Si, d’après Euler, on 
désigne par fn la somme des diviseurs de x, on a donc 
+2 +5 + + fn=q+Iqg:+ 5q +... + nq,. (5) 
Si l’on observe que pq, n’est autre chose que le plus grand des 
multiples de p, non supérieurs à #, on pourra énoncer la propo- 
sition suivante : « La somme des diviseurs des n premiers 
nombres naturels est égale à la somme des plus grands mul- 
tiples de ces nombres, non supérieurs à n. » 
On peut mettre la relation (5) sous une autre forme. 
Soit R, le reste de la division de n par p. On a n— pq, +R,. 
Substituant n — R, à pq,, dans (5), on trouve 
(1 + [2 + [5 ++ fn) + (Ri+ Ro Rite R,)—=n#. (6) 
Donc : « la somme des diviseurs des n premiers nombres 
nalurels, augmentée de la somme des restes que l’on obtient en 
divisant n par lous les entiers qui le précèdent, est égale au 
carré de n.» 
2 f(x) — 1. On déduit, de la formule (2), que : « le nombre 
des diviseurs des n premiers nombres naturels est égal à la 
somme des plus grands entiers contenus dans ”, = 
12293 °° » 
TT. La relation (5) en renferme une infinité d’autres, dont 
quelques-unes sont assez curieuses. Voici des exemples : 
4° Faisons f(x) — 2x — 1, et, par suite, F(x) —x2. La rela- 
tion (5) devient 
D + QE Qi + + ee = Qi + 592 + gs + Tu + 
Pour n — 7, les nombres q sont 7, 5, 2, 1,1,1,1,etl’on a 
bien 
P+S +2 ++ ++ —7+5.5+5.9+7+9+11+15, 
car les deux membres sont égaux à 66. 
De même, pour f(x) — 3x? — 3x + 1, on obtient 
Gi ++ ++. —= + 7 + 190: + 574 +. 
