(14) 
Les valeurs des quantités placées entre parenthèses s'étendent 
depuis à jusqu'à $ — 1, inclusivement; car q,—«, 9, =. 
Cela étant, il est visible que F (6 — 1) est pris autant de fois 
qu'il y a de termes dans la suite 
Jag+1 Tir? Jagts DER? ÉCFRrE 
c’est-à-dire g:_1 — gs fois. De même, F (6 — 2) est écrit gs_: — 84 
fois ; et ainsi de suite. Donc 
Su — Sg = (981 — 98) F(B — 1) + (ges — 98) F(B — 2) + 
+ (ge-s — 98e) F(B— 5) + +: + (Qa — Qau) F (2), 
ou bien 
Sz — Se — (a) — qeF (8) + 
+ (+1). qu + (a +2). Que + (la + 5).Qurs + + + f(8). qu]. 
Cette égalité montre que l’on peut poser 
S, = qeF (2) — [qf(t) + qef(2) + qf(5) ++ +qf@]+C (7 
La lettre C désigne une quantité qui ne dépend pas de a. Si 
l'on fait « — 1, en observant que g, —n, on trouve 
C—F(g:;) + F(g:) + F(gs) + + F(q,). 
Si l’on fait «— n, en observant que q, — 1, on trouve 
C— gif) + qi) + gif (6) +: + qui(n). 
En égalant ces deux valeurs de C, on oblient la formule (3). 
V. La dernière démonstration permet de généraliser la for- 
mule (3). Il suffit de remplacer C, par l’une de ses valeurs, dans 
l'égalité (7), en observant que q, = Ê, gs — «. On trouve 
F(q) a F (qe) + F(q:) ++ F(ge) = BF (a) + f(x + 1) Goya + 
= je 2) Qa+s FF f(& GE 5) Qo+5 RENAN [(R) qu 
(8) 
La formule (3) est un cas particulier de celle-ci : c’est celui où 
aæ—1,6—n. Pour en montrer une application, faisons f(x) —1, 
et, par suite, F (x) — x. Nous obtenons 
Fan CE a ie mean MO ET NGC AAC QU EEE 002 Ge 
