NOTE IV. 
I. Nous allons maintenant introduire une nouvelle fonction 
arithmétique, que M. Liouville a désignée par À (n). 
En supposant # décomposé en ses facteurs premiers, de 
manière que n — uw? …, On à 
5 (n) DE (— lD'e 
ainsi, À (n) — + 1, suivant que le nombre total des facteurs 
premiers de n, égaux ou inégaux, et différents de 1, est pair 
ou impair : on suppose À(1)— 1. On démontre facilement que 
la somme À(a) + 1(b)+ À(c) + .… est nulle, excepté si n est 
carré. Dans ce cas, elle se réduit à 1. Remarquons, en effet, que 
les nombres a, b, c, … sont les termes du développement de 
(eu +++ ut) (0 + ve vf) (A +0 + we + w?)… 
Il en résulte que la somme À (a) + À (b) + A(c) + … est égale à 
A RE Et) AA LE) 4 1 NES 
La première parenthèse, contenant « + 1 termes, est nulle ou 
égale à l'unité, suivant que « est impair ou pair. Il en est de 
même des autres, contenant 5 + 1, y + 1, termes. Donc, 
pour que le produit total ne soit pas nul, il faut et il suffit 
que «, B, y, ..… soient tous pairs, c’est-à-dire que n soit un carré. 
Nous pouvons donc écrire 
1, (n carré) 
x (a) + 1(b)+2(c) +--: — (27) 
0. (n non carré) 
II. Désignons, en outre, par + (n) le nombre des diviseurs 
premiers de n, autres que 1, et par w (x) le nombré de manières 
