( 56 ) 
NOTE VI. 
l. Les Notes précédentes montrent que, pour chaque nouvelle 
fonction arithmétique imaginée, on peut trouver une infinité 
d’identités générales. Par exemple, dans le Journal de Crelle 
{t. LXXVII), M. Mertens considère une fonction u{n), égale à 
+ { ou à —1, suivant que x est composé d’un nombre pair ou 
d’un nombre impair de facteurs premiers inégaux, autres que 1. 
Dans tous les autres cas, c'est-à-dire, suivant la définition de 
M. Mertens, quand x admet des diviseurs carrés, différents de 1, 
on a p{n) — 0. On suppose w{1) — 1. Cela étant, 
ua) + w(b) + wc) +: —=0. (52) 
En effet, t(n) étant le nombre des diviseurs premiers de n, 
autres que À, il est clair que le premier membre de l'égalité (52) 
est égal à 
A — C.: + Ce — Cz,; + -.. = (Dee (|) 
JL y a exception, si n —1. Dans ce cas, le premier membre 
de (52) se réduit à p{1)—1. L'identité (52) va nous en procurer 
beaucoup d’autres. 
IT. Prenons l'identité (17), et faisons-y g(x) —p(x). Nous 
aurons d'abord G(x)—0, excepté pour x — 1. Dans ce cas, 
G(x) — 1. L'identité (17) devient donc 
u 
ro=etor () +20r 0) +eor()+ (69 
Siu,v, w,.… sont tous les facteurs premiers de », différents 
de 1, la dernière égalité peut être écrite ainsi : 
0 DOS - 
