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VII. M. Liouville démontre, à l’endroit cité, la formule 
(2) ro (5) œ 
—— — + = + an mL — © 
4x A1—2x 1—x (1— x) 
Considérons, en général, la somme 
af() af | sf) 
SR EE 
2 boc 
En supposant x moindre que 1, en valeur absolue, on peut 
écrire 
x?f(p) 
A-— x? 
— d°{(p) + a?f(p) + x?f(p)+ 
Donnons à p les valeurs 1. 2, 3, 4, …, et ajoutons toutes les 
égalités ainsi obtenues. Pour que x" se trouve dans le dévelop- 
pement de Ÿ7P), il faut et il suffit que p divise n. Ainsi, x” se 
trouve dans les déelnenens de 
x f(a) x°f(b) x‘f(c) 
2 
Te AE 1 — x°° 
et, par conséquent, son coefficient est 
fa) + F6) + f(c) ++ = F(n). 
On à donc 
xft)  s@) , #6) 
| += xF()+ af (2) + x (5) +. (76) 
Ne = 
Pour f(x) — o(x), on à F(x) = x : l'identité (76) devient 
ap(1) 2%(2) (5) Ar 2 
—_—© + ———> + ——— + —=x + 22 + 51° +. — Ê 
Lx 1—x 1—7 (4 — x) 
7 (x) f(x) 1 
Pour f(x) =, F (x) => 
EC OO Are 
TEE RENE VERTE DU AE 
2 3 4 
