NOTE VII. 
[. Nous désignerons par (x, y) le plus grand commun diviseur 
de x, y, et par f(x, y) une fonction quelconque du nombre (x, y). 
Cela posé, considérons la somme 
UD) Ft, 1) + 2), 2) + #(5)/(n 5) + = #0) fn). 
n n 
Soient a, b, ce, … tous les diviseurs de » : les nombres, Ron 0 
sont aussi ces diviseurs. Cherchons quels sont, parmi les nombres 
(n, 1),(n, 2), (n, 3), …., (n, n), ceux qui ont la valeur =. Pour 
que l’on ait (n, p)}—?, il faut d'abord que p soit divisible par =- 
Donc p—1n.=. Mais, d’après un théorème connu, les quotients 
de » et p par leur plus grand commun diviseur =, c’est-à-dire a 
et m, doivent être premiers entre eux. En outre, on doit avoir 
p <n, d'où m»< a. Donc m doit être un quelconque des nom- 
bres &, B, y, … premiers avec a, et non supérieurs à ce nombre. 
Conséquemment, 
nx n£ ny n 
y = — n, — Do = 000 == 0 
a a a (2 
De là résulte que, dans la somme ci-dessus, le coefficient de 
ff) est 
RC 
a (7 
Par conséquent 
201) f(n, 1) + #(2)f(n, 2) + »(5)f(n, 5) + + + v(n)f(n,n) 
2 .[n .[n (A (78) 
— F(u)f F) + F(b)f q) + F(c)f ”) + 
IT. Si l’on fait V{x) — 1, l'égalité (77) montre que, dans ce 
cas, F(a) est égal à la somme d’autant d'unités qu’il y a de nom- 
