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Cette élégante relation a été découverte, avant nous, par 
M. Liouville, qui l’a communiquée à l’Académie des sciences de 
Paris. [Comptes RENDUS, 1. XLIV.] 
4 On sait que l’on peut écrire 
il m—1 
At) = Le” Fr ra(s)| p(x) 2 
50 += À] 2 
(x) désignant une fonction qui dépend des facteurs premiers 
de x, autres que 1. La formule est en défaut pour x — 1. Daus 
ce cas, il faut ajouter À au second membre, si l’on convient 
que 7, (1)— 1. Cela posé, par substitution dans l’identité (82), 
on obtient, après quelques simplifications, 
7, (@)#(@) “ rM(b)#(b) . Fm(C)? (€) 
+ 
GE (2 CL 
9 Mm+Ai+2"+5 +... < nn" n l 
in —1 n" m +1 2 
Si n augmente indéfiniment, le second membre tend vers 
k : : Qu 
zéro, mais son produit par » tend vers =" 2. On a, en effet, 
G(m—1 
n"+1 l 
A7 4 9m fe 3" Hp te N'— + nn" + D fa 
m + 2: 12 
V. On peut aussi considérer, comme corollaire de (80), l’iden- 
tité (79) elle-même. Faisons, en effet, w(x) — f{n, x). Nous 
aurons d’abord 
na ñn n ñn n 
(re) = (2, «= 0"; (84) 
bh X X 
car « étant premier avec x, on à (x, «) — 1. Donc 
ae} +1 vor) 
X x 
