(AIO ON) 
NOTE XI. 
I. Les moyens de calcul, exposés précédemment, pourraient 
être étendus à des nombres ayant, avec un nombre déterminé, 
des liaisons quelconques. Ainsi, au lieu de considérer tous les 
diviseurs de x, on peut considérer tous les nombres premiers 
avec x, et non supérieurs à ce nombre; ou bien tous les nombres 
premiers, inférieurs à æ. Si l’on parvenait à appliquer ces 
méthodes au dernier cas, on pourrait être très-utile à la Science 
des Nombres. Le problème n’est pas impossible: car Dirichlet 
paraît lavoir abordé en démontrant la formule de Legendre, 
ainsi que nous l'avons dit dans notre Avant-Propos, et M. Mer- 
tens a tenté un essai dans le même sens. Ajoutons que nous 
avons profité de cet essai pour rédiger une démonstration, à peu 
près irréprochable, des trois formules empiriques de Legendre. 
Si nous en ajournons la publication, c'est parce que nous avons 
l'espoir de pouvoir rendre nos raisonnements tout à fait Inatta- 
quables. 
IT. Supposons, par exemple, que a, b, c, … désignent tous les 
nombres, tels que x — a?, x — b?, x — c?, … soient des carrés. 
En d’autres termes, si l’on décompose x, de toutes les manières 
possibles, en une somme de deux carrés &? + (2, les nombres 
a, b, c, … représentent toutes les valeurs que peuvent prendre 
« et 5. On a l'identité 
f{a) + f\b)+ f{e) + + = (x — &) + [(V/x = 6) = (Ve). 2 
ou, plus généralement, 
g({a) f(x &) se gb) f(x — B)+g(of(V/x — ) + 
true) HAL (109) 
= foie) + far) + for) +: 
