NOTE XII. 
I. Le 25 avril 1880, M. Alexandre Berger a présenté, à la 
Société des sciences d’Upsal, un Mémoire Sur quelques applica- 
tions de la fonction gamma à la Théorie des nombres. M. Catalan 
a extrait, de ce Mémoire, quelques propositions qu'il a fait 
connaître, aux lecteurs de la Nouvelle Correspondance mathéma- 
tique, dans la livraison de décembre 1880, sous le titre de 
Théorèmes extraordinaires. Voici ces théorèmes : 
1° La somme des inverses des diviseurs d’un nombre entier est 
égale, en moyenne, È 
2% La somme des diviseurs d’un nombre entier N est, en 
moyenne, N. =. 
9° Si a, b, c, … sont tous les diviseurs d’un nombre entier, la 
somme 
a b C 
— —- — —+ — + 
ja Y6 Je 
est, en moyenne, égale à l’unité. 
4° Les nombres entiers de 5 chiffres ont, en moyenne, chacun 
5 p.10 + à f-10 + 20! 
5° Les entiers environnant N ont, en moyenne, autant de divi- 
seurs que les entiers compris entre À et Ne. 
Nous ignorons de quelle manière M. Berger s’est servi de la 
fonction gamma pour trouver ces propositions; mais nous allons 
montrer une source abondante de propositions analogues, que 
nous élablirons au moyen de considérations tout à fait élé- 
mentaires. 
diviseurs. 
IT. Soient a, b, c, … tous les diviseurs de N. Soit à chercher la 
S 
