(18) 
e 
XIT. Reprenons l’égelité moyenne : 
6(1) + 0(2) + 45) + --- + n)= 7» £: n + (20 — 1{jn. (141) 
Si l’on change n en ne, On trouve 
8(1) + 6(2) + 45) + --- + ane) = ne CP: n+ 20), 
c’est-à-dire 
O(1) + 0(2) + 0(3) + - -- + o(ne) 
ne 
= O(n). 
Cette égalité démontre la cinquième des propositions de M. Ber- 
ger. Il est sous-entendu que l’on doit prendre le plus grand 
nombre entier contenu dans ne. 
XIII. La formule (111) donne, avec une grande approxima- 
tion, le nombre des diviseurs des n premiers nombres naturels. 
En y faisant successivement n — 10”, n — 10"-*, on obtient: 
0(1)+62)+68(5)+-+0(107) — 10". m Re 10 +(2C — 1).10”, 
O(1)+ 62) +6(5) +. +010)" 1.10" "(mn —1) 10+(2C—1).10"-"; 
d’où l’on déduit, par soustraction, en désignant par », le nombre 
des diviseurs de tous les nombres de #» chiffres, 
ru = (Om + 1).10"* P 10 + (20 — 1)(107 — 10" 1). (19 
Si l’on cherche la moyenne arithmétique du nombre des divi- 
seurs des nombres de #» chiffres, on trouve 
2 
1 
a — mm .10 [ac — f. 10 — 1). 
1 (5 LS il Ce À 2 { ns Ge 9 tu 
Donc : 
« Les nombres entiers de m chiffres ont, en moyenne, chacun 
Am + B diviseurs; À et B étant des constantes, dont voici les 
valeurs : 
,502 585. 
,410 
A 289. 
B 274... » 
