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et, en développant, 
Pate N” — (De ?1° Nr FU Ce Pac NP — +. Pm (128) 
Par la définition de A,,, 
Gel 
À. 
PONS 
Si, dans la formule précédente, on remplace +, par ©. A,N”, 
on obtient 
A, — | = CC A, ae Ce A2 — C5 As 1000 an À,,; 
ou, symboliquement, 
A (Ar 
Remarques. — 1° Si m est impair, la relation (128) donne 
_N m—I m—2 ù 
De = Le .N = Ca gue NP cv 2 Gone fn]: 
Si N est impair, la quantité entre crochets est nécessaire- 
ment paire. S2 N est pair, les nombres «, B, y, … sont tous 
impairs; et, comme leur nombre est généralement pair, les 
sommes M, Po, Ps, .… SOnt toutes paires, d’où il résulte que la 
quantité entre crochets est encore paire. Par conséquent, quel 
que soit N, ®, est divisible par N. En d’autres termes : 
« La somme des m°"* puissances des nombres non supé- 
rieurs à N, et premiers avec ce nombre, est divisible par N, si 
m est impair. » 
Ainsi, on peut écrire : 
fm—= JI.N.  (mimpair). 
Il est assez remarquable que ce théorème ait lieu, seulement, 
pour les valeurs impaires de m. 
Il est facile de prouver qu’il n’est pas vrai, par exemple, pour 
m — p(N). 
En effet, pour cette valeur de "”, on à 
a" = PL. N +1, 
d’après la généralisation du théorème de Fermat. De même, 
Br JIRN +1,97 — JIC.N + 1, 
