d'où, en moyenne, 
y(n) = 
Par conséquent : 
« Le nombre de manières dont on peut décomposer un nombre 
entier en une somme de deux carrés, est égal, en moyenne, à . D 
Cette proposition concorde avec ce théorème de Jacobi : « Le 
nombre des solutions dont il s’agit égale la différence entre le 
nombre des diviseurs de x, de la forme 4x+ 1, et le nombre 
des diviseurs de la forme 4y + 5. » 
En effet, 
LA 1 1 1 
dt 2 — = + —— +. — 
STD NUE. mm 
&l À 
St l’on cherche le nombre des solutions de l’équation 
x° + y —n, on trouve, en suivant pas à pas la même marche, 
2 sl 
El k : 
n' fl VA — xt. dx. 
IT. Plus généralement, si l’on considère l’équation 
eo 
y(n) = 
| NO 
ET LT 
et si l’on répète les mêmes calculs, on trouve que : 
« Le nombre de manières dont on peut décomposer n en une 
somme d’une puissance x"* et une puissance 6°" parfaites, est 
égal, en moyenne, à 
ème 
AREA, 
Cn& TE; (148) 
expression dans laquelle | 
/ x. | 
= +2) f 1 — %8. dx.» 
x $ 
0 
La valeur de C ne doit pas changer par une permutation de 
valeurs entre + et 8. Par conséquent, 
" ÿ1 — x£. dx = f" ÿ7 — x4, dx. 
0 0° 
