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Si, dans l'égalité (13), on intègre entre 0 et 1, on trouve que 
la dernière relation équivaut à celle-ci : 
Sf-6-Je(-3]-e 2 
que vous avez fait remarquer, sous une autre forme, dans l’une 
de vos observations sur la démonstration élémentaire de la for- 
mule de Sürling, par MM. Glaisher et Mansion (Nouvelle Corres- 
pondance mathématique, 1. V, p. 52). 
9° J’arrête ici ces notes sur la fonction H, parce qu’elles 
pourraient me conduire trop loin du sujet. Je me permettrai 
seulement d'ajouter que, des formules (14) et (3), on déduit aisé- 
ment le développement de la fonction y suivant les puissances 
croissantes de x. On trouve 
(x) = — Cr + ES x — KS; a + LS, xt — … 
Voici encore une égalité, très facile à démontrer, et que j'ai 
trouvée au moyen de la fonction H, tout en écrivant cette lettre : 
1 Co: 4 Ci | Css | Css 
: D 0 EE Le 0 = RUE GPA .. — À — 9 
omissions an 7e re No 
C,, désigne, comme d'ordinaire, le nombre des combinaisons 
de m objets, pris p à p. 
HIT. 1° J'ai cherché, dans mon Mémoire, la valeur moyenne 
du nombre des diviseurs de », et j'ai trouvé 
(n) — Fr + 2C. 
On peut classer ces diviseurs par rapport à un même module «, 
suivant le reste qu'ils donnent, étant divisés par ce module. Si 
8,(n) est le nombre des diviseurs de n, qui, divisés par «, donnent 
le reste r, on peut se demander quelle est la valeur moyenne de 
8,(n). On suppose r > 0, ce qui n'exclut pas les multiples de a, 
car Ceux-ci correspondent au cas de r — a. Cela posé, il est clair 
que l’on a, en moyenne, 
1 1 1 Â 1 1 
0,(n) — 6,(n) = — — — + ne 2: IEEE 
r( r œ x +T 24 2a+T 594 
