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Si j'ai assez parlé de ces équations, il n’en a pas été de même 
des autres équations, telles que 
D +Y =, 
2 2 
ax + bxy + cÿ = n; 
etc., etc, dont je n’ai cherché que les nombres moyens de 
solutions, au lieu d'étudier des fonctions quelconques de ces 
solutions. Et même, dans la dernière équation, j'ai supposé 
b2—4ac <0. Or, il est intéressant d'étudier le cas de b2—-4ac50, 
parce qu'il comprend aussi l’équation xy —n. Je l’ai aisément 
ramené à l'étude des diviseurs de n, ayant une forme linéaire 
déterminée. 
2° Certaines identités, démontrées avec assez de peine dans 
mon Mémoire, au moyen de limitations, trouvent une démon- 
siration facile et nette par les équations. Ainsi, soit N{x) le 
nombre des solutions entières et positives de l'équation 
TRE) He 
On peut évaluer, de deux manières différentes, la somme 
D 'N() : elle est toujours égale au nombre des couples de valeurs, 
entières et positives, de x et y, satisfaisant à la condition 
Ty EE). 
Or, pour une valeur p de x, on trouve 
aan r 4 
Je 
. n 1 > 1 
Donc, pour x — p, y peut recevoir É=< valeurs entières et 
positives, donnant lieu à un nombre égal de solutions. En faisant 
varier p depuis 1, on obtient 
DE n | n | n | he 
IL = _— — — = — + PR 
ame bin 5 9 
Si, au contraire, on fait y —p, on trouve 
