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Certes, ces résultats n’ont rien de bien étonnant. Mais veuillez 
observer qu’ils ont été obtenus sans le secours du Calcul inté- 
gral, par la seule force des propriétés des nombres. Ces résultats, 
insignifiants par eux-mêmes, décèlent done, pour ainsi dire, une 
voie secrète, inconnue, conduisant de l’Arithmétique au Calcul 
intégral, et pouvant, par conséquent, être utile aux deux sciences. 
Elle peut surtout être utile à l’arithmétique, car nul ne mécon- 
naîtra que, si cette science n’a pas fait de grands progrès jus- 
qu'aujourd'hui, c’est surtout à cause de la discontinuité que l’on 
observe dans la variation des quantités dont elle s'occupe. Il 
s’agit d’écarter cet obstacle, soit en employant un calcul symbo- 
lique, basé sur une représentation symbolique de tous les nom- 
bres, au moyen de nombres premiers fictifs, de forme invariable; 
soit en donnant une plus large acception, réelle ou fictive, 
d’abord à l’idée de diviseurs, nombres premiers, premiers entre 
eux, etc., etc., puis à la signification même des différentes 
fonctions arithmétiques, de manière à pouvoir étendre les calculs 
arithmétiques aux nombres fractionnaires, aux incommensu- 
rables, et même aux imaginaires; soit en cherchant celte liaison, 
de nature inconnue, par laquelle nous voyons l’Arithmétique, la 
science des quantités à variation discontinue, se rattacher au 
Calcul intégral, qui possède, au contraire, au plus haut degré, 
ces qualités, dont nous déplorons l’absence dans l’Arithmétique. 
Quoi qu’il en soit, je me vois forcé d’abandonner à des intelli- 
gences mieux douées la résolution de ce grand problème, que je 
viens de poser en principe, bien désespéré de ne pouvoir le 
résoudre. Mais je crois qu’il faut, dans ces sortes de questions, 
laisser d’abord au temps le soin de les mürir. 
VI. Un autre fait, digne d'attention, est cette persistance des 
intégrales euleriennes à se présenter dans les calculs arithmé- 
tiques. Dans la dernière égalité encore, les deux intégrales 
définies pouvaient être ramenées à 
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