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6. Remarque. Les identités (9) et (10) permettent de 
déduire, l’une de l’autre, les relations ‘(1) et (7). En effet, pour 
g(x)}= ©, l'identité (10) donne d’abord, en vertu de (7), 
xm ? 
puis, par substitution dans (9), on trouve (2). Inversement pour 
G (x) —*"9, l'identité (9) donne d’abord, en vertu de (1), 
xm ? 
Par substitution dans (10), on obtient (7). 
II. L'emploi de la fonction x, qui donne tant de netteté aux 
calculs, permet encore de chercher l'expression moyenne de 
®, (N), par un procédé qui n’est, pour ainsi dire, que la généra- 
lisation du procédé employé par M. Mertens, dans le cas de 
m — 0. Dans l’égalité (1), donnons à NN les valeurs 1,2, 3,...,n, 
et ajoutons toutes les égalités ainsi obtenues. Nous trouvons 
np) = 41 )o(q:) + 2'u(2)5(q2) + + + nu(n)(q,), (14) 
en posant 
dx) = F,(1) + F,(2) + E,(5) + + + F,(x), 
et en désignant par q, le plus grand nombre entier contenu 
dans à D’après (2). on a 
Or, il est aisé de voir que 
(x) — (x + 1)F, (x) — F,(x). 
Par conséquent 
1 
DE) = = 7" 
( (m+1)(m +2) Tm+l 12 
