SUR UN THÉORÈME DE M. CATALAN. 
I. Nous allons démontrer un théorème de M. Catalan (Mathe- 
sis, t. IE, p. 158), après quoi nous donnerons quelques pro- 
positions nouvelles, du même genre. 
IT. Taéorème. Le nombre total des solutions entières, non 
négatives, des équations 
a +2y=n—1, 2x+5y=n—2, 52+hy=n—5, .,nx+(n+1)y=0, 
est égal à n. 
1° Si l’on met la p°"* de ces équations sous la forme 
pa+y+l)+y—=n, (1) 
et si l’on cherche ses solutions entières, on voit d’abord qu’il 
faut poser 
y=n — pl, 
t étant un entier quelconque. Substituant dans (1), on trouve 
x—(p+l)i—(n+1). 
2° Si l’on veut que x et y ne soient pas négatifs, on doit 
attribuer à t des valeurs telles que l’on ait, simultanément : 
(n—pt > 0, 
p+lt-(n+DS 0; 
d’où 
n +1 nn 
nt 
ou bien 
