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D’après cela, on ne peut attribuer à & d’autres valeurs que les 
suivantes : 
n n n n 
Ê + | ne L + un Ê ” LÉ 
Il en résulte que le nombre des solutions entières, non néga- 
tives, de l’équation (1), est 
QE. 00 
5° Si, dans la dernière formule, on remplace successivement 
p par 1, 2, 5, …, n, on obtient, par addition : 
N+NeMe+n—[5|—| É |" 
1 n + 1 
III. Plus généralement, soit f(x) une fonction quelconque, 
F (x) et Y(x) deux autres fonctions, définies par les égalités 
F(x) = f (4) + f(2) + (8) + + + f(x), 
da) = f{a) + f(E) + F0) +: 
a, b, ©, .…, étant tous les diviseurs de x. On a 
NF (4) + N2F(2) + + + N,F(n) = 91) + 9(2) ++ g(n). (3) 
Par exemple, faisant f(x) —1, et désignant par O(x) le 
nombre des diviseurs de x, on a d’abord 
F(x)—x, v(x)—4(x); 
puis 
N,+9N, + 5N3 + + nN, — 6(1) + 0(2) + 0(3) + -- + 0(n). 
IV. Soit, dans la même identité générale, f(x)—1, pour x=p, 
et f(x) — 0, pour toute autre valeur de x. ’ 
On aura F(x) —0, pour x < p, et F(x) —1, pourx>p 
En outre, 4 (x) — 1, si x est divisible par p, et 4(x) —0, dans 
le cas contraire. 
D’après cela, on obtient 
NN NE ON =|©| 
