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En particulier, pour p —1, on a le théorème de M. Catalan. 
Si l’on change p en p + 1, on retrouve, par soustraction, 
légalité (2). Ceci prouve que l'identité générale (3) est carac- 
téristique pour les nombres N. 
V. Remarquons encore les égalités 
N+N+N+i.…—A, 
N+N+N+e…—n— A: 
A représente la différence entre le nombre des diviseurs impairs 
et le nombre des diviseurs pairs des n premiers nombres naturels. 
VI. Posons 
v, = N, + 2N, + 5N; +. + xN.. 
Si a5—n, 
Vyt  VB —= Va_1) 
relation générale, pourvu que l’on suppose », = 0. 
COROLLAIRE. — $3 a, b, C.... sont tous les diviseurs de n, 
Vana Æ Vpn FE Ya He —= 
Par exemple, pour 7 —6, on doit avoir 
D + A + 0 + 5 = y. 
En effet, on trouve aisément : 
n—=0, n—3, %—D, »—8. 
Remarque. Si n + À est un carré, v, est un nombre pair. 
NII. Si n—c, dans l’expression 
N, ch 2N; Ste 3N; Se 000 SE (n + 1) Ne 
la somme des «a — À premiers termes est égale à la somme de 
tous les autres. 
Soit, par exemple, # — 95. On a d’abord 
NN NE = 2 
NN NE 
NN No = Nu = Ni = Nu = = Ny = 0. 
