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au moyen de laquelle on peut déterminer DANS que nous repré- 
sentons par c,. Ainsi, on obtient : 
A—= AN, 
Ga = 2n + 1 — 4(2n + 1), 
3 = 5n + 5 —[9(5n + 1) + 6(5n + 2)|, 
= 4n + 5 — |6(An + 1) + d(4n + 2) + o(4n + 5)|, 
XI. Le théorème de M. Catalan peut être ainsi généralisé : 
Le nombre total des solutions entières, non négatives, des équa- 
tions 
c++ k}y=kn—1), (1 + ke + (1 + 2k)y = k(n — 2), 
(A + 2%)x + (1 + 3k)y = k(n — 5), 
est égal à n. 
En effet, si l’on cherche les solutions entières de la p°* de 
ces équations, On irouve : 
x = (kp + 1)t—(n — p), 
y=n—p—{k(p—1)+1}t 
Pour que ces valeurs ne soient pas négalives, il faut que 
l’on ait 
n — p n—(p + 1) 
| |. 
4 ee | | kp +1 | 
Si l’on observe que la seconde partie de cette expression se 
déduit de la première par le changement de p en p +1, on 
obtient immédiatement 
n—1 — 1 
NN Ne + N,— | 1 l-| ]=" 
On voit donc que la propriété, signalée par M. Catalan, pour 
les équations 
x+y=n—1, 2x +5y—=n—2, 5x + ky—=n—3,… 
