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Donc, dans tous les cas, 
Et 
XIII. La dernière formule permet de chercher une large 
généralisation du théorème de M. Catalan. Soient 
Ugo Uo, Uzs Us 
Vis Vos Ugo Vs ve 
deux séries, arbitraires, de quantités entières, chaque terme de 
la première série étant positif, el premier avec le terme suivant. 
On forme une troisième série 
Wys Wos Wzy Wys 
d’après la relation 
VW = Volpt — (+ vpn) w,. 
Si w, est le premier lerine négatif, on peut affirmer que : 
Le nombre total des solutions entières, non négatives, des 
équalions 
UC + UY—= Ur UD HUY—= Ua, UD + MY Vs Us + U,Y—= WU, 1) 
Frs 
En effet, d’après l’expression de w,, l'équation 
est 
UT + UpuaY = Wyy 
admet la solution entière 
| x—=—(l+v,u) =—c, 
VEUVE B. 
Donc, d’après (4), 
On achève facilement. 
