SUR L'ÉQUATION ax + by — 
(EXTRAITS D'UNE LETTRE À M. HERMITE) 
None votre ne A 8: août, vous me tes lHonocue de 
me onniqee l’élégante relation 
[| — 2b | =) 
+ | ———— | + + 
(1 à (72 a 
n— a n—2a | n— 5a 
== + == + 
lle 
dans laquelle a, b, n, désignent trois nombres entiers quel- 
conques. Cette relation n’est qu’une égalité entre deux expres- 
sions différentes du nombre # des couples de valeurs, entières 
et positives, de x et y, satisfaisant à la condition ax + by Z n. 
Etes . ° 2 — n — bp 
En effet, si lon prend y = p, il faut que lon ait x 7 —: 
Done, parmi les x couples, le nombre de ceux qui renferment, 
pour y, la valeur p, est égal à [= 
Conséquemment, si l’on fait p — 1, 2, 5, …, on trouve que le 
nombre total des couples est 
É == | je “| É = | 
[2 == —+ —— + ————— + 0 
a ie a 
On trouverait, de même, 
__[n—a n — 2a n — 54 
k=—= G + <= G _ 
En égalant ces deux expressions de u, on obtient (4)... 
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