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a et b soient premiers entre eux, et je désignerai par N,,.ou 
simplement par N, le nombre des solutions entières, non 
négatives, de la même équation. On sait que, 
n 
\ = (5 + Tr, 
ab 
r étant O ou 1. Comment distinguer ces deux cas, au moyen 
des seules données a, b, n ? Telle est la question que vous 
daignez me poser dans votre Lettre du 22 août, et que je vais 
tâcher de résoudre. 
I. Je fais, pour brièveté, [51 9 et je désigne par R le 
reste de la division de # par ab, de manière que 
n = qab + R. (5) 
IL. 4° On sait que, parmi les nombres 
DA NS Nb 
il y a toujours un nombre É, et un seul qui, substitué à x, dans 
l’équation (2), donne, pour y, une valeur entière. Ce nombre f 
est évidemment la plus pelite valeur entière, non négative, de x. 
Pour avoir les autres valeurs, il faut ajouter à 5 successivement 
b, 2b, 5b......; de manière que, si N est le nombre des solutions 
entières, non négatives, de l'équation (2), les valeurs de x sont : 
6, B+b, B+ 20, ..., B+(N—1)b. (6) 
De même, « étant égal à l’un des nombres 
0, 4;:, 9,5, .., a —1, 
les seules valeurs entières, non négatives, que lon peut attri- 
buer à y sont : 
a,a+a, a+ 2a, ..…..x+(N—1)a. (7) 
Puisque y diminue, quand x augmente, il faut associer le 
r” des termes de la série (6), rangés par ordre croissant, avec 
le £"° des termes de la série (7), rangés par ordre décroissant, si 
