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IT. Substituant, dans (8), la valeur de n, donnée par (5), on 
trouve 
R=— aÿ + ba + [N—(q+1)]Jab. 
4 SiN— Q+ 1, on voit que R a la forme af + bo. 
2 Si N—q,on a R— af + ba — ab. Or, d’après la remarque 
du paragraphe précédent, on peut affirmer que, pour cette forme 
de R, l’équation ax + by = R n'admel pas de solutions entières, 
non négatives. En d’autres termes, si N — q, R n’a pas la forme 
a6 + ba. 
3° De tout cela résulte que r — 1, ou r —0, suivant que R a 
ou n’a pas la forme af + ba. 
IV. Pour résumer, nous pouvons énoncer la proposition sui- 
vante : 
TaéorÈmE. Le nombre des solutions entières, non négatives, 
de l'équation ax + by =n, est [5] + 1, si le reste de la divi- 
sion de n par ab est égal à l’un des nombres 
(DRRTOAUE 2b, 30 
DU LR 20 NGEE SDS 
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Dans les autres cas, le nombre considéré est É 
V. APPLICATIONS. 1° Le nombre des solutions entières, non 
négatives, de l’équation 2x +5y = n, est [5] +1, sauf quand 
n a la forme 6q + 1. Dans ce cas, le nombre considéré est Fe]: 
2% Soit a— 3, b — 5. Après avoir formé les nombres 
0 3 6 000) 
5, 5 + 5, 6 + 5, 9 + 5, ..…., 
10, 53 + 10, .…, 
on voit que le nombre des solutions entières, non négatives, de 
l'équation 3x + dy — n, est Lai + 1, sauf quand le reste de la 
division de n par 15 est un des nombres 1, 2, 4, 7. Dans ce cas, 
le nombre considéré est [= |: 
