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On suppose que a et b soient deux nombres entiers donnés, 
premiers entre eux, et que # soit un nombre entier, pris au 
hasard. Par exemple : « La probabilité que le nombre des solu- 
tions entières, non négatives, de l'équation 20x + 63y — n, soit 
égal au plus grand nombre entier, contenu dans = est 
1260 
589 
——— — 0,46 .…. » 
1260 
… Le théorème du paragraphe IV peut être renfermé dans la 
formule 
n 
N, TE Nr = [| e (9) 
C’est à peu près sous cette forme qu'il a été découvert et 
énoncé, pour la première fois, par M. Catalan ; [Mélanges mathé- 
matiques]. Pour démontrer la formule (9), considérons les équa- 
tions 
ax + by = R + kab, (10) 
ax + by = n + kab, (11) 
dans lesquelles Æ est un entier arbitraire. Soit x — À, y = — B, 
une quelconque des solutions entières de l'équation (10). Toutes 
les autres solutions entières seront données par les formules 
générales 
y= - B+at, 
t étant un entier quelconque. Si l’on veut que x et y ne soient 
pas négalifs, on doit poser 
Cela étant, si l’on fait 
x—=A+x, y——B+ 7, 
dans l’équation (11), celle-ci devient 
ax’ + by" — qab, 
