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L’équation de A'B’ est donc 
ax + by = n — ab. 
Les solutions entières, non négatives, de cette équation, sont 
représentées par les coordonnées des points S, S’,S”, …. Le 
nombre N, _,; de ces solutions égale donc celui des points S, S', 
D PATES , Ou celui des intervalles MM’, M'M”, M’M'”’, .…., c'est- 
à-dire N, — 1. 
Conséquemment 
N, Te Ne —— 4. 
On a, de même : 
Ne QUE Ne Te 1 9 
Non LE N,_50 FF 4, 
No Ge 0come Né = 1. 
Puis, par addition, 
N—N— 9: 
AC AR OnmUle 0) LE VReT eu rer ArUT RL e 
.… Le premier procédé est la traduction algébrique du pro- 
cédé géométrique, exposé en dernier lieu . 
… Pour tous les couples de valeurs entières, non négatives, 
de x et y, satisfaisant à l'équation (2), je trouve l'égalité 
moyenne 
F(r+s) a'b° 
Par exemple : 
4 UMA 
Vay Va 
De même, pour r — s — 1, on obtient 
N—— ; 
ab ? 
