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V. 1 L'idée de M. Catalan consiste en une interprétation par- 
ticulière du premier membre de l'équation (1). Dirichlet ayant 
donné, à la même quantité, une signification différente, nous en 
avons tiré quelques conséquences dans la Note XVIII. On pour- 
rait, en suivant la même marche, tirer des conséquences 
analogues de la première interprétation. Cependant, pour 
abréger, nous nous bornerons à énoncer quelques propositions, 
qui résultent immédiatement de ce qui a été dit dans le dernier 
paragraphe. D'abord : 
« n étant un nombre donné, la probabilité que le plus grand 
nombre entier contenu dans = soit impair, tend vers le logarithme 
népérien de 2, lorsque n augimente indéfiniment. » 
En d’autres termes : 
« Il y a environ 69 à parier, contre 51, qu’un nombre entier 
quelconque entre un nombre impair de fois dans un nombre 
donné, très grand. » 
2. On peut rechercher la valeur de la probabilité analogue, 
quand le nombre n n’est pas donné. 
Dans ce cas, si l’on considère toutes les fractions dont les 
termes ne surpassent pas », on trouve, d’après (6), que, si o, est 
la somme des plus grands nombres entiers contenus dans les 
fractions à dénominateur p, la quotité des cas où ces nombres 
sont impairs est représentée par 
Ci — Ca + O3 — y + ee EG, 
Puis, en opérant comme dans la Note XVIII, on trouve que 
ca : 1 
la valeur moyenne de la dernière expression est > n? {2. D’au- 
tre part, le nombre total des fractions, non inférieures à l’unité, 
esl 
ALI G+<k + ee +n= 
ble 
à 
On retrouve donc 2 comme valeur asymptotique de la pro- 
babilité cherchée. Ainsi : 
a Ayant pris, au hasard, deux nombres entiers, si l’on divise 
le plus grand par le plus pelit, il y a environ 69 à parier, 
contre 31, que le quotient entier, pris par défaut, est impair. » 
