SUR UNE FONCTION ». 
I. 1. Nous avons imaginé une fonction x), laquelle, si x est 
une puissance d’un nombre premier, est égale au logarithme 
de ce nombre; dans les autres cas, /{x) — 0. De cette définition 
on déduit immédiatement l'identité fondamentale 
v(a) + »(b) + v(c) + +. = fin, (1) 
a, b, ©, … étant tous les diviseurs de n. 
En effet, si u, v, w, … sont les diviseurs premiers de n, 
autres que À, et si n — u” v° w? …, les seuls diviseurs, pour 
lesquels » — fu, sont u, u?, u5, .… u*. 
De même, les seuls diviseurs, pour lesquels v— fv, sont 
v, 02, 05,..., 0; et ainsi de suite. ]l en résulte que 
Da) = à Lu+BL.v+y p.w + —$.n. 
2. q, étant le plus grand nombre entier contenu dans à la 
relation (1) donne facilement 
qui) + qu2) + 55) + + qu) = L.(1.2.5..n), (2) 
ou bien, d’après une formule de la Note I, 
x(g1) + x(g2) + (gs) + + + x) =$.(1.2.5...n), (3) 
pourvu que l’on pose 
xx) = A) + (2) + 25) + + + vx). (4) 
3. Remarques. a) La relation (3) est l'identité de Tchéby- 
chef, dont M. Mertens fait usage pour établir son 1° Lemme. 
Pour nous en convaincre, distinguons, parmi les x premiers 
nombres naturels: 4° tous ceux qui sont premiers; 2° tous ceux 
