( 5% ) 
continuellement croissante avec x. Ilen est de même de £.x. 
Donc 
H(n) UE + 1) LH + n) UE +n) € H{n + DEC 
ou bien 
[H(n) ge (s +) CH(+n)— L.(e-n) <[H(n)—p. n|\+ au 
n+1° 
d’où l’on déduit 
lim [H(e + n)— £. (e + »)]= lim [H(r) — £. n], 
c’est-à-dire 
C. —= Co 
Ainsi, C. est aussi indépendant de e. C'est une constante que 
l’on désigne par C, et que l’on appelle constante d'Euler. On 
peut la définir par légalité 
= Ê —g.(s . =)| — 0,577 215 664 901 532 86... 
1 LP P 
4. Remarque. Le but des derniers développements est de 
démontrer que H(x) —.f.x tend vers une limite finie et détermi- 
née, quand x augmente indéfiniment. 
5. D’après tout ce qui précède, la formule (10) peut définitive- 
ment s’écrire : 
1 | 1 4 
Htc rs es 11 
() Cet ont Don 32e Le 
En s’arrêlant aux premiers termes, on peut calculer les 
valeurs de la fonction harmonique, avec une approximation 
d’autant plus grande que x est plus grand. 
IV. 1. Si x est un nombre entier n, la dernière formule donne 
la somme des x premiers termes de la série harmonique. Bien 
des formules spéciales ont été présentées sur ce sujet. Nous cite- 
rons, en particulier, celle-ci : 
(12 
tai 1 IH h 
lite hs 65 CM AR A) STE 
2 3 n Gn(n + 1) 
