( 354 ) 
Mais y”(00 ) — 0 ; puis À —0, quel que soit &. Il en résulte 
que l’on peut écrire, définitivement, 
pi ARR Nr à 
DT 0 ICT, O0 T 295 ES ONE 
Intégrant deux fois, on trouve (18). 
3. Il y a plusieurs moyens de déterminer la constante N. 
On peut, d’après M. Serret, employer la formule de Wallis, 
ainsi qu’on le verra plus loin. 
4. Pour x — n, la formule (19) devient 
_ re € 
1.9.5... nn — V'Orn.n'e-"+z. 
C'est la formule de Stirling, telle que plusieurs géomètres ont 
tâché de la démontrer élémentairement. Dans la Nouvelle Corres- 
pondance mathématique(t. V, p.44), on trouve une démonstration 
élémentaire, publiée par M. Mansion, d'après M. Glaisher. En 
lisant attentivement cet article, nous y avons reconnu une idée 
très ingénieuse, laquelle, appliquée différemment, nous a permis 
de simplifier considérablenrent la démonstration du géomètre 
anglais, au point que M. Catalan jugeait notre démonstration 
apte à faire enseigner la formule de Stirling dans les Cours élé- 
mentaires d'analyse. [Nouvelle Correspondance mathématique, 
t. VI, p. 354.] C'est la même idée que nous avons appliquée 
précédemment au calcul approché de H{n). [Voir IV, 4, 5.] 
5. Les principes du calcul symbolique n’ont, en eux, rien de 
bien transcendant ; de sorte que la démonstration, donnée plus 
haut, peut être considérée comme élémentaire. Mais l’état de 
l’enseignement n'étant pas encore tel que nous le dési- 
rons, nous croyons devoir transcrire ici notre démonstration, en 
attendant que le calcul symbolique soit admis dans l’enseigne- 
ment élémentaire. 
IX. Démonstration élémentaire de la formule de Stirling. 
4. Nous partons de la formule connue 
1 n 
Ê 4 à K D: | 
eee | 
3 (2n—1Ÿ 5 (2n—41) 7 (2n —1) 
