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et p un nombre entier variable, si l’on fait x = : + p, 
légalité (29) permet de poser 
nH(x + n)—S(x)—=A., [tr =e,e+1,e + 2,6 +5, 
A. étant une constante, par rapport à p. 
5. Nous allons prouver que À. est aussi constante par rapport 
à :. A cet effet, observons que, d’après (5), la fonction H, et, 
par suite, la fonction S, sont constamment croissantes avec x. 
Il en résulte que l’on peut écrire 
nH(p + n) — S(p + 1) < nH(e + p + n) —-S(e + p), 
nH(e + p + n)—S(e + p) < nH(p + n + 1) —S(p), 
ou bien 
n 
n 
A. AE CAE. 
pEn-El p+n+i 
tend vers zéro, et l’on a 
. . 2 Q n 
Si p augmente indéfiniment, nd 
À: = À, . 
4. Ainsi, la quantité A., indépendante de p, est aussi indé- 
pendante de :. Elle ne peut être fonction que de n. Conséquem- 
ment, on peut écrire 
nH(x + n) —S(x) = f(n), (30) 
quel que soit x. 
9. Pour déterminer la fonction f, faisons croître x indéfini- 
ment. La formule (11) montre que le premier membre de (30) 
a même limite que l’expression 
(x + n) : 
er + 1)(x + 2) (x + 5). (x + n) 5 EU 
Donc 
f{n; = nin. 
6. Remplacçant, dans (30), les fonctions f et S par leurs 
expressions, on obtient la formule (23). 
Torre Annunziata, 13 août 1882. 
Ernest CESARO. 
