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II. Plus généralement, si 0,(n) est le nombre des diviseurs de n, 
qui, divisés par s, donnent le reste r, on a 
4 , 
È Le B,(1) + 8,12) +. + 0,(n) IST 
im 
= — £. [= Fe Re EH dx, 
r ne pouvant être nul. Pour r = s=—1, on trouve la formule de 
M. Stieltjes. Pour s — 2, 0,(2) représente le nombre des diviseurs 
impairs de n, et 6.(n) le nombre des diviseurs pairs. On trouve 
6y(1) + 0,(2) +- Où( 
lim [2- (1) 2) rl) — Je »|= pe+ec-n=0mursrss. 
n 
1)+ 0 + 0, 
im | p »- 2 as me + PE EU | O9 ac D 078. 
ÂS 
III. Quant à légalité (2), on peut la démontrer, très simplement, 
en considérant les couples de valeurs, entières et positives, de ŒeLIY;, 
satisfaisant à la condition xy 7° n. Pour x —p, on a y Pa 7 et l'on 
ne peut attribuer, à y, que [> ] valeurs entières et Do ES Faisant 
varier p de 1 à », on trouve que le nombre total des couples est 
SRHHHES 
On peut partager ces couples en trois classes, suivant que l’on a: 
a)... 27 « yT B; 
ba y7TB; 
c).. T7 9 > IE 
Le nombre des couples (a) est, évidemment, «8 — n. Le nombre 
des couples (b) est : 
SES) -+[]=e. 
De même, le nombre des couples (c) est Q, — Q. 
Conséquemment : ; 
= n+(Q, Er Qx) + (Q> Re Qg). 
Réduisant, on trouve (2). 
