(545) 
Il. Ces considérations nous ont conduit à imaginer une nouvelle 
fonction &(x), dont il sera question ultérieurement, et qui repré- 
sente la quotité des groupes de k nombres, non supérieurs a x, et 
constituant, avec x, des groupes de nombres premiers entre eux. La 
propriété fondamentale de cette fonction est exprimée par la relation 
nin+l)(in+2)...(n+k—1) 
A eee 
dans laquelle a, b, c, … sont tous les diviseurs de 7. 
Si w, v, w, … sont les facteurs premiers de #, autres que l’unité, 
et si l’on pose 
on peut écrire, symboliquement, 
. La +1)(5+2) -(G+k—1) 
UE DAS 
Cette fonction jouit de propriétés nombreuses, qui seront déve- 
loppées dans un second Mémoire. 
D. — Aux démonstrations de Dirichlet, Mertens, Perott, Sylvester, 
relatives à la valeur moyenne de la fonction 9, il faut joindre 
celle que M. Halphen vient de publier dans les Comptes-Rendus 
de l’Académie des Sciences, de Paris (3 mars 1885). 
M. Halphen ajoute : « Je prouverai que la fonction de M. Tchéby- 
chef, somme des logarithmes des nombres premiers inférieurs à x, 
est asymptolique à x, ce qu'on n'avait pu établir jusqu’à présent. » 
En attendant la démonstration annoncée, nous ferons observer 
que, dans notre Note sur une fonction », nous avons établi l'égalité 
moyenne 
o (&) + (ee (ee x —2C, 
dans laquelle 5{x) est la fonction de Tchébychef, somme des loga- 
rithmes népériens de tous les nombres premiers, non supérieurs à x. 
On en déduit immédiatement que cette fonction est asymptotique à x. 
