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8. Le plan de l'infini 1 se transforme en une surface du 
second ordre (4) TE passe par les coniques L, P. Parce que la 
ligne L est située à l'infini, la surface (,) est semblable et sem- 
blablement placée à la surface fondamentale et passe 7 son 
centre qui est le pôle du plan I. 
Chaque point de (:,) se transforme en un point de l'infini. 
Cette propriété peut nous servir à déterminer l'espèce de la 
conique ou de la surface du second ordre dérivée. 
&. Quand la droite primitive L perce la surface (,) en deux 
points réels, coïncidents ou imaginaires, la courbe dérivée (L,) 
a deux, un ou aucun point à l'infini et elle est respectivement 
une hyperbole, une parabole ou une ellipse. 
Un plan L ne rencontrant pas la surface (%,) se transforme en 
une surface (/,) qui coupe le plan de l'infini I suivant une conique 
imaginaire; cette surface est done un ellipsoïide. 
Si la surface (4,) n’est pas gauche et si le plan L la touche, la 
surface transformée (/,) est un paraboloïde elliptique. 
Quand L coupe la surface (i,) en une courbe réelle et la 
conique P en des points imaginaires, la surface (/,) est un hyper- 
boloïde à deux nappes. 
L coupe la courbe P en deux points a, b. Toutes les droites du 
plan E qui passent par ces deux points se transforment en deux 
systèmes des droites de la surface dérivée (4,); celle-ci est done 
un hyperboloïde à une nappe. 
Si les points d’intersection du plan L avec la courbe P se réu- 
nissent, la surface (/,) devient une surface conique (”). 
Supposons que la surface fondamentale F soit une surface 
gauche et que le plan P la coupe en une hyperbole. La surface 
auxiliaire (2,) est de la même espèce que F. 
Quand le plan L touche la surface (%,) en un point, il la coupe 
en deux droites À, B qui rencontrent la courbe P en deux points 
(*) Cette classification des surfaces dérivées est contenue dans une note lue à 
l’Académie de Saint-Pétersbourg (25 novembre 1889). 
Je répète ici cette classification avec quelques additions, parce que la suite de 
la présente note l’exige. 
