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réels a, b. Les droites À, B se transforment en des droites de 
l'infini, qui se trouvent sur la surface dérivée (/,). Aux deux 
faisceaux des droites (a), (b) du plan L correspondent deux 
systèmes de droites sur (/,). Cette surface est par conséquent un 
paraboloide hyperbolique. 
5. À l'aide de la surface (,) nous pouvons déterminer direc- 
tement la forme et la position du cône directeur de la surface 
dérivée (L;). 
Transformons un point a, de la courbe d'intersection L’ du 
plan L avec la surface (i,). Son plan polaire a, rencontre la 
droite M en un point a, dont le plan polaire « coupe «, suivant 
une droite a3@y. 
Le troisième sommet a; du tétraèdre polaire se trouve dans 
le plan P. L’arête a,a, de ce tétraèdre est la polaire de l’arête 
opposée &a; qui est située dans le plan P. Par conséquent la 
droite a,a, passe par le pôle p de ce plan et par le point choisi a, 
sur (?,). Le sommet a, du tétraèdre s'éloigne à l'infini sur ap. 
De là résulte que le cône qui a le point p pour centre et la 
conique L’ pour directrice est parallèle au cône directeur de (1). 
Dans le cas où le plan L touche la surface (4,), qui est une 
surface gauche, en -un point a, le cône dont nous avons parlé 
tout à l'heure se décompose en deux plans, les plans directeurs 
du paraboloïde hyperbolique correspondant. 
Dans ce cas et dans celui où les deux droites qui passent par 
le point de contact sur la surface (4,) sont imaginaires, la droite ap 
indique la direction de l’axe du paraboloïde. 
Quand le plan L touche la conique P en rencontrant la sur- 
face (2,) en une courbe L', le cône (p, L') est parallèle au cône 
dérivé (1,). Si le plan L touche encore la surface (4,), le cône 
directeur devient une droite ap et la surface (/,) est un cylindre 
dont les génératrices ont la direction ap. Cette remarquable pro- 
priété de la courbe L’ nous rend donc compte de la forme de la 
surface dérivée et montre la facilité avec laquelle nous pouvons 
transformer les figures plus compliquées, comme nous le ferons 
voir dans la deuxième partie de cette note. 
