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6. Il nous reste encore à examiner le cas où la surface trans- 
formée devient un hyperboloïde équilatère. 
Quand les génératrices du cône directeur doivent être à angle 
droit, il faut que la courbe L’ soit un cercle et que la droite cp, 
qui joint le centre c de cette circonférence au point p, soit per- 
pendiculaire au plan L. 
Il faudra donc que le plan L rencontre la surface (4,) suivant 
un cercle, ce qui se présente dans un cas très particulier puisque 
le point p se trouve sur (4;). 
Si la surface fondamentale est une sphère, le plan L dont la 
surface correspondante est un hyperboloïde équilatère passe par 
le centre c de la surface (1,) et il est perpendiculaire au rayon cp. 
Cet hyperboloïde équilatère peut être à une nappe ou à deux 
nappes. Au milieu de ces deux espèces se trouve le cône asympto- 
tique. 
LI 
7. Considérons un faisceau de plans (A). Son axe A se trans- 
forme sous les conditions précédentes en une conique (a,) et 
chacun de ses plans en une surface du second ordre qui passe 
par la conique (a,) et par P. 
Par un point x arbitrairement pris dans l’espace et par la 
conique P est déterminé un seul plan du faisceau (A). Comme à 
cé point x correspond un seul point x;, par lequel passe une 
seule surface du second ordre déterminée par (a;), P, et dérivée 
du plan (x, A), il s'ensuit que : 
Un faisceau (A) de plans se transforme par rapport à un plan P 
et à une droîte M située dans ce plan, en un faisceau de surfaces 
du second ordre. | 
La courbe d’intersection des deux surfaces ou la courbe fon- 
damentale du faisceau se décomposant en deux coniques, nous 
voyons que c'est un cas particulier que nous obtenons par cette 
transformation. 
