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Les plans du faisceau (A) rencontrent le plan P en général en 
un faisceau de droites. Le plan passant par la trace L d’un plan L 
du faisceau sur P et par le point p est le plan tangent à la sur- 
face dérivée (2,) du plan L au point p. 
De ce que le point p se trouve dans le plan P, il s’ensuit que 
ce plan touche toutes surfaces dérivées du faisceau (A) au point p. 
84. La droite A rencontre la surface (i,) en deux points réels. 
Elle se transforme en une hyperbole (a;) qui touche le plan P 
au point p. Deux plans du faisceau (A) touchent la surface (4,), 
un plan passe par p et tous les autres plans coupent (4,). 
De là résulte ce théorème : 
Le faisceau de surfaces du second ordre déterminé par deux 
droites C, D qui se croisent en un point p et par une hyperbole 
qui touche le plan P des droites C, D au point p, consiste en un 
groupe d’hyperboloïdes à une nappe, en deux paraboloides hyper- 
boliques et en deux plans; toutes ces surfaces se touchent au point p. 
25. Quand la conique (a,) est une parabole, le théorème 
précédent change un peu : 
Par deux droites C, D d’un plan P qui se croisent au point p 
et par une parabole qui touche le plan P au point p passent une 
infinité d’hyperboloïdes à une nappe, un paraboloïde hyperboli- 
que et deux plans; toutes ces surfaces touchent le plan P au point p. 
26. Pour une ellipse (a,) nous parviendrons à ce théorème : 
Par deux droites C, D d’un plan P qui se coupent en un 
point p et par une ellipse qui touche le plan P au point p passent 
une infinilé d'hyperboloïdes à une nappe et deux plans; toutes 
ces surfaces touchent le plan P au point p. 
23. Supposons que le plan P touche la surface fondamentale 
gauche en un point p et que la droite A soit située dans ce plan. 
La courbe correspondante (a;) se décompose en deux droites 
qui se confondent avec les droites C, D, en lesquelles le plan P 
rencontre la surface gauche. 
