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Toutes les surfaces dérivées du faisceau (A) ayant communes 
les droites doubles C, D se touchent le long de ces droites. 
Un plan du faisceau (A) passe par le point p et tous les autres 
rencontrent la surface (4;). 
Nous avons donc ce théorème : 
Les surfaces qui passent par deux droites doubles C, D situées 
dans un plan P sont des hyperboloïdes à une nappe et le plan P 
est considéré comme plan double. Toutes ces surfaces se touchent 
le long des droites C, D, ayant une surosculation au point de 
rencontre des lignes C, D. 
2s. Ce théorème nous apprend une construction d’un hyper- 
boloïde surosculateur à une surface gauche du second ordre en 
un de ses points p. 
Considérons la surface gauche F comme la surface fondamen- 
tale de la transformation et transformons un plan quelconque L 
par rapport au plan tangent P à la surface F au point p. Nous 
obtenons l’hyperboloïde surosculateur demandé. 
Pour un autre plan L, cet hyperboloïde change de forme. 
29. Supposons que la surface fondamentale ne soit pas gauche 
et que le plan P la touche au point p. La conique P se réduit en 
ce point. Quand la droite À ne rencontre pas la surface (%,), elle 
se transforme en une ellipse qui touche le plan P au point p. 
Un système de plans (A) rencontre la surface (£,) en des 
coniques réelles et un autre système en des coniques imaginaires; 
deux plans touchent (4,) et un plan passe par p. 
Les surfaces d'un faisceau que l’on peut faire passer par une 
ellipse tangente à un plan P au point p font un groupe d’ellip- 
soides, un groupe d'hyperboloïdes à deux nappes; ces groupes sont 
séparés par deux paraboloïdes elliptiques. Toutes ces surfaces 
touchent le plan P au point p. Enfin il y a deux plans en ce 
faisceau de surfaces. 
30. Pour une parabole (a,) nous avons ce théorème : 
Par une parabole qui touche un plan P au point p passent une 
infinité d’hyperboloïdes à deux nappes, un paraboloïde elliptique 
et deux plans. Toutes ces surfaces touchent le plan P au point p. 
