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Les sphères A,, A,, A; sont coupées par le plan de leurs 
centres suivant trois circonférences «4, &, «, dont nous dési- 
gnerons la circonférence orthogonale par &. La ligne w (*) est le 
lieu des centres des sphères A dont le rayon est nul ; son équa- 
tion est donc 
EuZpRi — Zpeaus — 0 (”), 
ou 
Da Duels Ù! (17) 
Revenons maintenant à l'enveloppe de la sphère B qui coupe 
sous des angles constants À,, À, À; trois sphères fixes A,, Ao, A3. 
Le mouvement de la sphère B peut encore être défini par la 
condition qu'elle coupe sous des angles constants trois quelcon- 
ques des sphères passant par P, P’. En particulier, on peut 
choisir pour les dernières sphères trois sphères tangentes à B; 
on voit alors que les surfaces traitées aux n° 1 et 4 sont de même 
nature. 
Désignons par À une sphère quelconque passant par P, P'et 
tangente aux sphères B; son centre et son rayon vérifient les 
équations (15) et (16), À étant égal à 0 ou à 7. Si l’on élimine p, 
on trouve l'équation représentant le lieu du centre de A : 
pal cos 1 = Paul, — Dépot; ; (18) 
elle est identique à (11'), ce que l’on pouvait prévoir. 
Prenons pour A, A, À; trois quelconques des sphères À, 
de sorte que À, — À = À; —0. L'équation (18) se réduit à (11), et 
l'on voit de nouveau que la cyclide est l'enveloppe des sphères A 
passant par P, P’ et dont le centre parcourt la conique repré- 
sentée par (11). D'après la signification de (17), cette conique 
est doublement tangente à la circonférence ©, la corde de contact 
(*) Si les points P, P’ sont réels, le milieu de leur distance est intérieur aux 
cercles «;, «,, «,, et le cercle w est imaginaire. 
(**) Cette équation démontre le théorème suivant : Étant donnés trois cercles 
Lys Las Ex, lQ Circonférence qui les coupe orthogonalement, et celle qui passe 
par leurs centres, ont pour axe radical la droite divisant les lignes des centres 
de &, &a, 2, en segments proportionnels aux carrés des rayons correspondants. 
B 
