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et par suite 
dr ex 
44. PROBLÈME XVIIT. A ef B ont m et n jetons; ils jouent ; au 
bout de quelque temps ils en ont x et y; la probabilité pour À de 
gagner | coup est > celle de B Bi. La partie cesse quand 
l’un des joueurs a gagné tous les jetons de l’autre. Quelle est la 
probabilité pour À de gagner la partie? 
PREMIÈRE SOLUTION. Posons m + n —x + y —k. 
Soit w, la probabilité cherchée ; 
= est la probabilité pour A de gagner cette fois; 
Æ 
Us » » À de gagner après le coup; 
Le 
FE » » À de ne pas gagner cette fois ; 
ANS, » A de gagner malgré cet échec; 
on aura donc : 
X 
U, DE Ury4 DE = 
Multiplions par kf’, 1l vient : 
ku,l = Quut + ku, it — vu, tr. 
Faisons successivement x — 1, 2, 5, 4 et ajoutons : 
k (lues + Vue + ce) = (ot + DE + Su + +) 
+ kt(us + ait + We +.),. . (2) 
— Duo + Qui + Sul + +) | 
Soit 
2 = Ut Ut + Ut + ul + ce; 
d'où 
dz À 
— = Un + Quot + SU + 
dt 
L'égalité (2) peut s’écrire 
k(ust + ul + ce) = (tu + Quot + Sul? + ce) — (us + Uol + Ut + «+) | 
+ ktuo + uit + ul + +) 
— 4 (to + uit + Ml +) + (uit + Jul? + .…)] 
